Метод Гаусса: как легко решать СЛАУ с помощью последовательного исключения неизвестных

Содержание

1. Как появился метод?
2. Преимущества метода Гаусса для решения СЛАУ
3. Прямой и обратный ход метода Гаусса

Решение систем линейных уравнений (СЛУ) посредством метода выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, чей гений признали еще при жизни, не требует каких-то особых знаний. Достаточно быть внимательным, последовательным, разбираться в действиях на сложение и умножение.

Как появился метод?

Юный Карл в школе за моментальный ответ на вопрос, чему равна сумма ряда от 1 до 100, подвергся публичному наказанию. Учитель выпорол его за несоблюдение стандартной процедуры: вместо сложения чисел по порядку одаренный ученик заметил определенную закономерность. Суммы равноудаленных от краев арифметической прогрессии пар чисел совпадают. Например, 120 и 10, 110 и 20, 100 и 30. Математика тем и ценна, что развивает абстрактное мышление, способность улавливать в частном общее.

Алгоритм вычисления суммы ряда 4, 8, 12 ... 240, 244, 248 методом Гаусса будет следующим:

1. Перепишем данную последовательность наоборот, разместив ее строго под первой.

4, 8, 12 ... 240, 244, 248

248, 244, 240 ... 12, 8, 4

2. Найдем сумму пар чисел, расположенных друг под другом: 252.

3. Посчитаем количество таких пар в числовом ряду: вычитаем из максимального значения в числовом ряду минимальное и делим его на величину шага: (248-4)/4=61.

Важно не забывать правило "Плюс один" и прибавлять единицу к полученному частному. В противном случае наш результат будет на единицу меньше, чем реальное количество пар: 61+1=62.

4. Находим произведение суммы одной пары чисел и числа пар: 252х62=15624.

5. Учитывая, что считали сумму пар чисел, то полученный результат делим на два: 15624/2 = 7812.

Это и есть искомая сумма ряда от 4 до 248 с шагом 4.

Преимущества метода Гаусса для решения СЛАУ

Механизм последовательного исключения неизвестных включен в программу школьных факультативов по математике. Прежде чем приступить к его описанию, стоит вспомнить, сколько ответов может получиться при решении СЛУ:

1. Один единственный.

2. Бесконечность вариантов.

3. Ни одного (в несовместных СЛУ).

Подходу Гаусса свойственен ряд преимуществ относительно других способов:

• отсутствует необходимость в предварительном поиске совместимости СЛУ;
• позволяет решать СЛУ с количеством уравнений идентичным числу искомых переменных и невырожденной основной матрицей системы, а также системы, в которой разное количество уравнений и неизвестных переменных;
• применим для основной матрицы, определитель которой “ноль”;
• результат находится путем небольшого ряда вычислений.

Метод Гаусса направлен на эквивалентное преобразование данной СЛАУ в систему, решение которой упрощено в разы, в сравнении с исходной.

Прямой и обратный ход метода Гаусса

Работать будем с СЛУ вида

Алгоритм действий начинается с того, что приводим систему к ступенчатому виду. Сперва расширим матрицу свободными членами и числовыми коэффициентами: последовательно вычитаем составляющие первой строки из составляющих второй и третьей строк. В результате в первом столбце под «ведущим» элементом образуются нули. Для удобства меняем вторую и третьи строки местами. Последовательно прибавим к членам последней строки составляющие второй, умноженные на 3.

На основе полученного ступенчатого массива составляем новую СЛУ. Обратным ходом находим величины неизвестных членов. Из третьего уравнения найдем х3, который равен 1. Подставляем его значение во вторую строку системы, получится выражение вида x2 – 4 = –4.

Следовательно, x2=0.

Значения x2 и x3 ставим в первое уравнение: x1 + 0 +3 = 2. Искомый член равен –1.

Таким образом с помощью матрицы и метода Гаусса были найдены неизвестные величины: x1=–1; x2=0; x3=1.

Какие действия допустимы в матрице:

1. Изменение порядка строк.
2. Удаление всех аналогичных и пропорциональных строк за исключением одной.
3. Умножение и деление строк на любое число, не равное нулю.
4. Сложение строк.
5. Исключение нулевых строк. Некоторые авторы их не вычеркивают, а опускают вниз расширенной матрицы.

Допускается менять местами столбцы матрицы, но такое преобразование применяется нечасто. При перестановке местами, например, первого и третьего столбцов матрицы, переменные x1 и x3 меняются местами во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса получил широкое практическое применение для расчета электротехнических величин и не только. Известный американский математик Валях утверждает, что практически 75% расчетных математических задач решаются посредством СЛУ. Математические модели, описывающие те или иные процессы, сразу имеют вид линейных алгебраических, либо приводятся к нему.

Компания «РосДиплом» на протяжении 20 лет занимается студенческими работами и предлагает помощь студентам во всех областях и темах. Наши преимущества: огромный опыт работы, лучшие авторы, собранные со всех уголков России, гарантии успешной сдачи и оптимальной цены, а также индивидуальный подход к каждому клиенту.